2015北京考試崗位能力指導(dǎo)：植樹(shù)問(wèn)題及變形
在軍隊(duì)文職考試崗位能力數(shù)學(xué)運(yùn)算中，有一類植樹(shù)問(wèn)題，這類題目沒(méi)有什么解題技巧，而是利用對(duì)應(yīng)的公式就可以很容易的解答，那么，接下來(lái)國(guó)家軍隊(duì)文職考試網(wǎng)就幫考生總結(jié)一下植樹(shù)問(wèn)題所用到的公式以及怎么應(yīng)用。一、植樹(shù)問(wèn)題的類型和應(yīng)對(duì)公式例如：在一周長(zhǎng)為100米的湖邊種樹(shù)，如果每隔5米種一棵，共要種多少棵樹(shù)？這樣在一條“路”上等距離植樹(shù)就是植樹(shù)問(wèn)題。在植樹(shù)問(wèn)題中，“路”被分為等距離的幾段，段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距、總路長(zhǎng)=間距×段數(shù)。根據(jù)植樹(shù)路線的不同以及路的兩端是否植樹(shù)，段數(shù)與植樹(shù)的棵數(shù)的關(guān)系式也不同，下面就從不封閉路線的植樹(shù)和封閉路線植樹(shù)來(lái)一一說(shuō)明。（1）不封閉植樹(shù)：指在不封閉的直線或曲線上植樹(shù)，根據(jù)端點(diǎn)是否植樹(shù)，還可細(xì)分為以下三種情況：①兩端都植樹(shù)：兩個(gè)端點(diǎn)都植樹(shù)，樹(shù)有6棵，段數(shù)為5段，即有植樹(shù)的棵數(shù)=段數(shù)+1，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距+1，總路長(zhǎng)=（棵數(shù)-1）×間距。②兩端都不植樹(shù)：兩個(gè)端點(diǎn)都不植樹(shù)，可知植樹(shù)的棵數(shù)=段數(shù)-1，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距-1，總路長(zhǎng)=（棵樹(shù)+1）×間距。③只有一端植樹(shù)：只有一個(gè)端點(diǎn)植樹(shù)，可知植樹(shù)的棵數(shù)=段數(shù)，結(jié)合段數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，則：棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，總路長(zhǎng)=棵數(shù)×間距。（2）封閉植樹(shù)：指在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹(shù)，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹(shù)的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。所以棵數(shù)=總路長(zhǎng)÷間距，總路長(zhǎng)=棵數(shù)×間距。二、兩邊植樹(shù)問(wèn)題除了在路的一邊植樹(shù)外，還有路的兩邊都植樹(shù)的情況，這時(shí)就要先判斷出植樹(shù)類型，計(jì)算出一邊植樹(shù)的情況，再根據(jù)一邊求兩邊情況。解析：此題答案為C。共需要架設(shè)30×1000÷500+1=61根電線桿。三、不同間隔植樹(shù)問(wèn)題在一些植樹(shù)問(wèn)題中，往往存在兩種或多種植樹(shù)方式。這種情況下，就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)植樹(shù)問(wèn)題，常需要結(jié)合最小公倍數(shù)找出重合點(diǎn)。A.8B.9解析：此題答案為D。每隔3米打一木樁對(duì)應(yīng)每隔3米植樹(shù)，兩端都打?qū)?yīng)兩端都植樹(shù)，因此直道的總長(zhǎng)=段數(shù)×間距=（棵數(shù)-1）×間距=（49-1）×3=144米。依題意，不拔出來(lái)的木樁距離起點(diǎn)的距離必須能被3和4整除，3和4的最小公倍數(shù)是12，即從起點(diǎn)開(kāi)始每隔12米有一個(gè)木樁可以不拔出，144÷12=12，故有12+1=13根木樁不用拔出。四、植樹(shù)問(wèn)題變形在數(shù)學(xué)運(yùn)算中還有一些變形題，如鋸木頭、走樓梯等實(shí)際問(wèn)題，這些變形只是形式上的改變，其本質(zhì)仍然是植樹(shù)問(wèn)題。中公教育專家發(fā)現(xiàn)，在最近幾年的崗位能力考試中，植樹(shù)問(wèn)題往往以這種變形題出現(xiàn)。解決植樹(shù)問(wèn)題的變形題，要注意端點(diǎn)是否“植樹(shù)”，分清“棵數(shù)”與“段數(shù)”之間是+1還是-1。常見(jiàn)的變形題：鋸木頭、爬樓梯、重合、隊(duì)列問(wèn)題均可視為兩端都不植樹(shù)問(wèn)題，其中的知識(shí)要點(diǎn)如下：鋸木頭：要鋸成n段，則需鋸（n-1）次；爬樓梯：從1層到n層，需爬（n-1）段樓梯；若每爬完一段，休息一次，則需休息（n-2）次；重合問(wèn)題：n段接在一起，重合的有n-1段；隊(duì)列問(wèn)題：有n個(gè)人（或n輛車），中間有n-1個(gè)空。A.3B.4C.6D.8解析：此題答案為D。要求鋼管被鋸的段數(shù)，必須首先求出鋼管被鋸開(kāi)幾處。從上圖我們可以看出鋼管有28÷4=7處被鋸開(kāi)，因而鋸開(kāi)的段數(shù)有7+1=8段。題中被鋸開(kāi)的地方即植樹(shù)位置，因此問(wèn)題相當(dāng)于“兩端都不植樹(shù)”問(wèn)題，棵數(shù)=段數(shù)-1。上面幾道例題基本套用公式，分清楚類型就可以迅速作答了。希望可以幫助考生把植樹(shù)問(wèn)題的解題思路理清，以后再碰到這類問(wèn)題就不會(huì)再花費(fèi)大量的時(shí)間了。崗位能力更多解題思路和解題技巧，可參看。
北京考試崗位能力指導(dǎo)：盈虧問(wèn)題
盈虧問(wèn)題在國(guó)家軍隊(duì)文職考試中出現(xiàn)得比較少，但是在各省市的軍隊(duì)文職考試中出現(xiàn)得比較多，相信在以后的考試中還是會(huì)有所出現(xiàn)。這類題型比較簡(jiǎn)單，考生只需要記住公式即可。二、題型介紹盈虧問(wèn)題早在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的第六章——盈不足章節(jié)中就曾記載，盈就是有余，虧就是不足的意思。把一定數(shù)量的物體分給若干個(gè)對(duì)象，按某種標(biāo)準(zhǔn)分，結(jié)果剛好分完，或多余（盈），或不足（虧），再按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，又出現(xiàn)分完、多余或不足的結(jié)果，根據(jù)每次的結(jié)果來(lái)求物體以及分配對(duì)象的數(shù)量的問(wèn)題，就稱為盈虧問(wèn)題。盈虧問(wèn)題的常見(jiàn)題型為給出某物體的兩種分配標(biāo)準(zhǔn)和結(jié)果，來(lái)求物體和分配對(duì)象的數(shù)量。由于每次分配都可能出現(xiàn)剛好分完、多余或不足這三種情況，那么就會(huì)有多種結(jié)果的組合，這里以一道典型的盈虧問(wèn)題對(duì)三種情況的幾種組合加以說(shuō)明。現(xiàn)有一筐蘋(píng)果，不知道有多少個(gè)，一群小朋友，也不知有多少人，把這些蘋(píng)果平分給這些小朋友，根據(jù)每組的兩個(gè)條件，求出蘋(píng)果和小朋友的人數(shù)。1.一盈一虧如果每人分9個(gè)蘋(píng)果，就剩下10個(gè)蘋(píng)果；如果每人分12個(gè)蘋(píng)果，就少20個(gè)蘋(píng)果。2.兩次皆盈如果每人分8個(gè)蘋(píng)果，就剩下20個(gè)蘋(píng)果；如果每人分7個(gè)蘋(píng)果，就剩下30個(gè)蘋(píng)果。3.兩次皆虧如果每人分11個(gè)蘋(píng)果，就少10個(gè)蘋(píng)果；如果每人分13個(gè)蘋(píng)果，就少30個(gè)蘋(píng)果。4.一盈一盡如果每人分6個(gè)蘋(píng)果，就剩下40個(gè)蘋(píng)果；如果每人分10個(gè)蘋(píng)果，就剛好分完。5.一虧一盡如果每人分14個(gè)蘋(píng)果，就少40個(gè)蘋(píng)果；如果每人分10個(gè)蘋(píng)果，就剛好分完。無(wú)論根據(jù)以上哪組條件，都可以求出有小朋友10人，蘋(píng)果100個(gè)。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要抓住兩次分配時(shí)盈虧總量的變化，經(jīng)過(guò)比對(duì)后，再來(lái)進(jìn)行計(jì)算。三、解題方法（一）公式法針對(duì)每一種題型，我們都有固定的公式來(lái)解決。實(shí)際上盈虧問(wèn)題一般都是一種貨物的兩種分配方法，我們可以總結(jié)一下：人數(shù)=兩次分配的剩余/虧欠的貨物數(shù)之差÷兩次分配中每個(gè)人得到的貨物數(shù)之差大家可以嘗試著用上面的公式來(lái)解下面這些題：例題1：現(xiàn)有一筐蘋(píng)果，不知道有多少個(gè)，一群小朋友，也不知有多少人，把這些蘋(píng)果平分給這些小朋友，根據(jù)以下不同條件，求出蘋(píng)果和小朋友的人數(shù)。（1）如果每人分9個(gè)蘋(píng)果，就剩下10個(gè)蘋(píng)果；如果每人分12個(gè)蘋(píng)果，就少20個(gè)蘋(píng)果。（2）如果每人分8個(gè)蘋(píng)果，就剩下20個(gè)蘋(píng)果；如果每人分7個(gè)蘋(píng)果，就剩下30個(gè)蘋(píng)果。（3）如果每人分11個(gè)蘋(píng)果，就少10個(gè)蘋(píng)果；如果每人分13個(gè)蘋(píng)果，就少30個(gè)蘋(píng)果。（4）如果每人分6個(gè)蘋(píng)果，就剩下40個(gè)蘋(píng)果；如果每人分10個(gè)蘋(píng)果，就剛好分完。（5）如果每人分14個(gè)蘋(píng)果，就少40個(gè)蘋(píng)果；如果每人分10個(gè)蘋(píng)果，就剛好分完。（1）小朋友有（10+20）÷（12-9）=10人，蘋(píng)果有9×10+10=100個(gè)。（2）小朋友有（30-20）÷（8-7）=10人，蘋(píng)果有8×10+20=100個(gè)。（3）小朋友有（30-10）÷（13-11）=10人，蘋(píng)果有11×10-10=100個(gè)。（4）小朋友有40÷（10-6）=10人，蘋(píng)果有6×10+40=100個(gè)。（5）小朋友有40÷（14-10）=10人，蘋(píng)果有14×10-40=100個(gè)。（二）方程法如果不愿意記公式的話，我們也可以直接用方程法來(lái)解題。例題2：某班去劃船，如果每只船坐4人，就會(huì)少3只船；如果每只船坐6人，還有2人留在岸邊。問(wèn)有多少個(gè)同學(xué)？四、題型精講（一）直接計(jì)算型這類題可以直接對(duì)應(yīng)到上面公式中所說(shuō)的其中一個(gè)類型，直接代入公式就可以得到答案。例題3：在一次救災(zāi)扶貧中，給貧困戶發(fā)放米糧。如果每個(gè)家庭發(fā)50公斤，那么多230公斤；如果每個(gè)家庭發(fā)60公斤，那么少50公斤。問(wèn)這批糧食共（）公斤。例題4：士兵背子彈作行軍訓(xùn)練，若每人背45發(fā)，則多680發(fā)；若每人背50發(fā)，則還多200發(fā)。問(wèn)有子彈多少發(fā)？需要注意的是，軍隊(duì)文職考試中最常見(jiàn)的是“一盈一虧型”。（二）條件轉(zhuǎn)換型這類題目直接套公式是得不到答案的，需要我們把已知條件換一種說(shuō)法，將它轉(zhuǎn)化成為上述五種標(biāo)準(zhǔn)形式中的一種才可以。例題5：有個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下。如果增加一條船，正好每條船可以坐8人；如果減少一條船，正好每條船可以坐12人，問(wèn)這個(gè)班共有幾名同學(xué)？例題6：一單位組織員工乘坐旅游車去泰山，要求每輛車上的員工人數(shù)相等。起初，每輛車上乘坐22人，結(jié)果有1人無(wú)法上車；如果開(kāi)走一輛空車，那么所有的游客正好能平均乘坐到其余各輛旅游車上。已知每輛車上最多能乘坐32人，請(qǐng)問(wèn)該單位共有多少員工去了泰山？人人人人例題7：某單位以箱為單位向困難職工分發(fā)救濟(jì)品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，那么余下148箱；如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，那么余下20箱。由此推知該單位共有困難職工：人人人人五、小結(jié)1.盈虧問(wèn)題核心是抓住兩次盈虧量的變化，利用對(duì)應(yīng)的公式求解。2.有些題目不是標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題，可進(jìn)行轉(zhuǎn)化后再利用公式求解。3.若題目較復(fù)雜，不好直接利用公式，可利用方程法求解。4.盈虧問(wèn)題可以與其他題型復(fù)合，可結(jié)合數(shù)字特性等進(jìn)行求解。崗位能力更多解題思路和解題技巧，可參看。
2019北京軍隊(duì)文職招考考試軍隊(duì)文職崗位能力數(shù)量關(guān)系之青蛙是如何跳井的？
何為青蛙跳井?青蛙又是如何跳井的?很多人看到這個(gè)題目可能會(huì)很懵，我們?yōu)槭裁匆紤]這個(gè)問(wèn)題?其實(shí)，這與我們公考考試中的一類題型有關(guān)。在中，經(jīng)常有這樣一類題型：工程問(wèn)題中出現(xiàn)正負(fù)工作效率交替的合作問(wèn)題。這類題型非常類似于青蛙跳井的過(guò)程，因此我們稱之為青蛙跳井問(wèn)題。為了能夠更好的理解和掌握這類題目，我們先了解一下標(biāo)準(zhǔn)的青蛙跳井模型，再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)模型掌握青蛙是如何跳井的。一、標(biāo)準(zhǔn)青蛙跳井問(wèn)題1、模型：現(xiàn)有一口高10米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度為5米，由于井壁比較光滑，青蛙每跳5米下滑3米，這只青蛙幾次能跳出此井?(1)分析青蛙跳井問(wèn)題：我們明顯發(fā)現(xiàn)，青蛙在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中一直是上跳下滑，具有周期性、循環(huán)性，在每一個(gè)周期之中，青蛙都會(huì)先向上跳躍5米，再向下滑動(dòng)3米，所以在完整的一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)，青蛙實(shí)際向上跳躍運(yùn)動(dòng)了2米。(2)我們可以想到，青蛙在跳出井口的一瞬間一定是在向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，而不是先跳出到空中再回落到井口。所以我們要首先將向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程的5米距離預(yù)留出來(lái)，此處5米就稱作預(yù)留量。(3)剩余的預(yù)留高度五米需要幾個(gè)周期才能達(dá)到呢?我們可以用52=2.5個(gè)周期達(dá)到，向上取整為3個(gè)周期。(4)在3個(gè)周期之后，這只青蛙到達(dá)了6米的高度。再跳一次，就可以跳出井口了。通過(guò)上述分析，我們知道青蛙跳井問(wèn)題有兩個(gè)關(guān)鍵特征：2、關(guān)鍵特征：(1)周期性;(2)周期內(nèi)工作效率有正有負(fù)。經(jīng)過(guò)上面的學(xué)習(xí)，我們可以通過(guò)練習(xí)一道變形題目來(lái)加以鞏固。例：?jiǎn)胃苌蠏熘粭l4米長(zhǎng)的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米，問(wèn)小趙幾次才能爬上單杠?(1)一周期中，小趙先先向上1米，再下滑0.5米。所以一個(gè)完整的周期小趙會(huì)向上運(yùn)動(dòng)0.5米。(2)小趙上單杠一定是在向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程，所以預(yù)留峰值一米長(zhǎng)度。(3)剩余三米，需要留個(gè)完整周期達(dá)到。(4)最后一米再爬一次，故共七次到達(dá)單杠。二、青蛙跳井與工程問(wèn)題結(jié)合----有負(fù)效率的交替合作這類工程問(wèn)題當(dāng)中，由于存在了負(fù)效率，就類似于先向上爬又下滑的青蛙跳井問(wèn)題。我們用一道經(jīng)典模型題目來(lái)進(jìn)行了解：一水池有甲和乙兩根進(jìn)水管，丙一根排水管。空池時(shí)，單開(kāi)甲水管，5小時(shí)可將水池注滿水;單開(kāi)乙水管，6小時(shí)可將水池注滿水;滿池水時(shí)單開(kāi)丙管，4小時(shí)可排空水池。如果按甲、乙、丙......的順序輪流各開(kāi)1小時(shí)，要將水池注滿水需要多少小時(shí)?(1)此題目所求為乘除關(guān)系，且對(duì)應(yīng)量未知，可以先設(shè)特殊值從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。一般可以將工作總量設(shè)為時(shí)間的最小公倍數(shù)，設(shè)為60。則我們可以得出甲管的效率為12，乙效率10，丙效率-15。那么完整的一個(gè)周期是由甲乙先注入水，丙再排水，效率和為7。效率峰值達(dá)到22。(2)注滿池水，一定是在甲乙兩管做正效率的過(guò)程中發(fā)生的。所以先預(yù)留出22。剩余38需要注入。(3)38的水量需要6個(gè)完整的循環(huán)才能達(dá)到。(4)六個(gè)循環(huán)后，共注入水量42。還剩18需要注入。(5)18需要甲注入一小時(shí)，乙注入0.6小時(shí)。(6)共計(jì)19.6小時(shí)。這就是我們工程問(wèn)題當(dāng)中最?？嫉囊活惽嗤芴畣?wèn)題的題目，題型解答過(guò)程相對(duì)固定套路化，只是在問(wèn)題的最終問(wèn)法對(duì)象上稍有不同，我們只要加以區(qū)別即可。綜上所述，我們經(jīng)過(guò)觀察無(wú)論是經(jīng)典的青蛙跳井問(wèn)題，還是青蛙跳井在工程問(wèn)題中的變形，其本質(zhì)都是一個(gè)循環(huán)問(wèn)題，因此我們?cè)谧龃祟愵}目時(shí)一定要注意以下兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)最小循環(huán)周期;(2)一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)的效率和。只要抓住這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，我們就能夠更加熟練順暢的解決好青蛙跳井問(wèn)題及其變形題目。
