解放軍文職招聘考試方程與線性代數(shù)-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:38:23方程與線性代數(shù)直到18世紀(jì)，方程與代數(shù)學(xué)幾乎是同義語．18世紀(jì)，人們對方程所關(guān)注的問題之一是證明每一個一元n次方程有n個根，同時人們在采 否任何實系數(shù)多項式都能分解成線性因式的乘積，解決這個問題的關(guān)鍵就在于證明：每一個一元n次多項式至少有一個實根或復(fù)根，這就是我們今天熟悉的代數(shù)學(xué)基本定理．歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日在18世紀(jì)70年代都試圖證明這個定理，但他們的證明都不完全正確．第一個對代數(shù)基本定理做出嚴(yán)格證明的是德國數(shù)學(xué)家高斯，他的證明是1799年在其博士論文中給出的．其方法不是去計算一個根，而是去證明它的存在．他的證明富有高度創(chuàng)造性，開創(chuàng)了探討數(shù)學(xué)中整個存在性問題的新途徑，打破了存在的準(zhǔn)則就是可構(gòu)造性的傳統(tǒng)觀念，對于19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有重要意義．在數(shù)學(xué)中，開始了構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造性數(shù)學(xué)并駕齊驅(qū)的時代．人們對方程感興趣的另一個原因，是試圖求解四次以上的方程．這一時期人們曾把問題集中在求解二項方程xn－1＝0上．科茨和棣莫弗用復(fù)數(shù)證明了：解這個方程相當(dāng)于把圓周分成n等分．于是人們又稱xn－1＝0為分圓方程．關(guān)于這個方程的有價值的工作是高斯在19世紀(jì)作出的．求解一般的四次方程問題引起了歐拉、拉格朗日等人的關(guān)注，其中拉格朗日和范德蒙(A．Vandermonde，1735 1796)作出了杰出的貢獻(xiàn)．對于用根式解方程的問題，從1767年起拉格朗日寫了一系列論文．他的做法是，看是否有一種普遍的方法，能把任意次數(shù)的方程化為次數(shù)較低的方程．經(jīng)過詳盡的研究，他發(fā)現(xiàn)，對于二次、三次或四次方程，借助于一個低一次的 輔助 方程便可獲得方程之解，但把這種方法用于方程ax5＋bx4＋cx3+dx2+ex+f=0時，輔助方程卻是六次的，因此他想大概不能求得四次以上方程的解．隨后拉格朗日又換一個角度，轉(zhuǎn)而研究一般方程xn+a1xn-1＋ +an-1x＋an＝0的根x1，x2， ，xn的函數(shù)(x1，x2， ，xn)的置換對稱等性質(zhì)．作為19世紀(jì)數(shù)學(xué)家的先驅(qū)，18世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家研究了方程根的性質(zhì)．設(shè)x1，x2， ，xn是方程xn＋a1xn-1＋ ＋an-1x+an＝0的根．令Sk=x1k＋x2k＋ ＋xnk，牛頓得到了今天稱之為 牛頓等式 的結(jié)果：1762年，華林(E．Waring，1734 1798)證明了，所有關(guān)于根的有理對稱函數(shù)都可以表示為方程系數(shù)的有理函數(shù)，并得到了：牛頓還得到了方程的根與其判別式D的關(guān)系：其中x1，x2， ，xn是方程a0xn+a1xn-1＋ ＋an－1x＋an=0的根．此外，范德蒙等人也進(jìn)行了大量的工作．18世紀(jì)由方程的研究引入了對方程根x1，x2， ，xn所生成的函數(shù)的研究，并由此引入了初等對稱、置換等一系列新的術(shù)語．所有這些工作，都為19世紀(jì)代數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展做好了充分準(zhǔn)備．在1678年以前，萊布尼茨就開始了對線性方程組、行列式的研究，對消元法從理論上進(jìn)行了探討．在1693年4月28日致洛必達(dá)(G．F．A．L Hospital)的信中，他提出了行列式的概念： 我引進(jìn)方程：此外，在兩個數(shù)碼中，前者表示此數(shù)所屬的方程式，后者代表此數(shù)所屬的字母(未知數(shù))． 隨后，他給出了一般的運(yùn)算規(guī)則，這種規(guī)則就是行列式的運(yùn)算規(guī)則．這樣，他創(chuàng)設(shè)了采用兩個數(shù)碼的系數(shù)記號，相當(dāng)于現(xiàn)在的aik，即上述方程組中的10，11，12， ，31，32為a10，a11，a12， ，a31，a32．為矩陣和行列式一般理論的發(fā)展提供了方便的工具．沿著萊布尼茨的思路，18世紀(jì)人們做了發(fā)揮．1729年左右馬克勞林提出了用行列式解含有兩個、三個和四個未知量的聯(lián)立線性方程組的解法．1750年，克萊姆(G．Cramer，1704 1752)在《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》一書中給出了今天我們熟知的行列式展開的 克萊姆法則(公式) ．1764年，貝祖(E．B zout，1730(或1739) 1783)用行列式理論建立了線性方程組的一般理論，他給出了含n個量的n個齊次線性方程，并且證明了：系數(shù)行列式等于零是方程組有非零解的條件．范德蒙第一個系統(tǒng)研究了行列式理論，而不像其他人一樣僅僅把行列式作為求解方程組的工具．他給出了用行列式的二階子式和余子式展開行列式的規(guī)則．由于他脫離方程組來研究行列式，因此他被認(rèn)為是行列式理論的奠基人．1772年，拉普拉斯給出了今天的拉普拉斯定理：假定在n階行列式D中，取定某k個行(1 k n)，那么在這k個行中所有k階子式分別與其代數(shù)余子式乘積的和就是D．18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們討論了多元高次方程組，這個問題是由研究高次代數(shù)曲線f(x，y)=0，g(x，y)=0的交點數(shù)而引起的．1764年，貝祖給出了從f(x，y)＝0，g(x，y)＝0中消去一個未知量的方法，并于1779年公布于眾．貝祖給出了解決這個問題的消元法，并得到了這樣的結(jié)論：兩條代數(shù)曲線的交點數(shù)是m n，即f(x，y)＝0，g(x，y)=0的次數(shù)的乘積．18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們還考慮了求解兩個多項式f(x)＝a0xn＋a1xn-1＋ ＋an=0，有公共解的條件：關(guān)于有公共解時系數(shù)必須滿足的條件稱為消去式或結(jié)式．牛頓第一個研究了這個問題，他在1707年出版的《普遍的算術(shù)》中給出了從兩個方程中消去x的法則．歐拉、貝祖后來給出了更一般的方法．在1764～1769年的《數(shù)學(xué)教程》(Coursde math matique)中，貝祖給出了一般的方法：f(x)， (x)的結(jié)式等于一個行列式，這個行列式由n-1次(或更低次)的多項式gk(x)=(a0xk-1+a1xk-2＋ ＋ak-1) (x)－(b0xk-1+b1xk-2+ ＋bk-1)f(x)(k=1，2， ，n)的系數(shù)組成．這就是今天熟知的貝祖方法．在整個18世紀(jì)，線性代數(shù)主要是行列式理論和消元法理論，這兩個理論在這個世紀(jì)還是很有成就的．由于牛頓、歐拉、貝祖、拉格朗日、拉普拉斯的工作，具體解方程(一元高次方程，多元高次方程組，線性方程組)的方法在18世紀(jì)已相當(dāng)完備了．而整個線性代數(shù)則處于萌芽起步階段．
