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軍隊文職考試中,排列組合是考察頻率較高但卻令很多小伙伴頭疼的題型,尤其是一些需要分類討論的題目,稍有不慎就會漏掉一些情況。今天,紅師教育帶領(lǐng)大家一起,學(xué)習(xí)一下間接法,從另外一個角度來討論需要分類較多的排列組合。

知識點撥

需要分類討論的排列組合題目,無論分多少類,終究是有限的,只是出題人往往要求我們討論分類較多的情況。但是反過來想想,如果求的結(jié)果是分類較多的部分,那么剩余的部分,分類就較少了,我們可以用整體數(shù)減去剩余部分(稱為對立事件),這樣就可以減少一些計算量。間接的方法,反而可能更快更“直接”得到答案。

例題展示

例題

由1-9組成一個3位數(shù),3位數(shù)肯定有數(shù)字重復(fù)的組合有多少種?

A.220 B.255 C.280 D.225

本題考查排列組合,我們第一反應(yīng)通常把有數(shù)字重復(fù)的情況進行分類,本題需要分成四類情況:

(1)百位、十位數(shù)字重復(fù):先確定百位上的數(shù)字,從9個數(shù)中選一個,有9種情況,十位數(shù)與百位數(shù)相同,只需考慮個位的情況,個位和百位、十位數(shù)字不同,所以只能從剩下的8個數(shù)字中選一個,也就是8種情況,這是分步的過程,有9×8=72種情況。

(2)百位、個位數(shù)字重復(fù):同(1)有9×8=72種情況。

(3)十位、個位數(shù)字重復(fù):同(1)有9×8=72種情況。

(4)百位、十位、個位數(shù)字都重復(fù):先確定百位,從9個數(shù)中選一個,有9種情況,此時十位、個位和百位相同,直接確定,所以一共有9種情況。

分類相加,所以符合要求的數(shù)字組合一共有:72+72+72+9=225,答案為D。

雖然結(jié)果算出來了,但是考慮情況會比較多,況且這只是三位數(shù),如果是四位數(shù)、五位數(shù)會更加麻煩。如果用間接法會如何呢?

題目要求的是三位數(shù)中,有數(shù)位上的數(shù)重復(fù),分類較多,對立事件為三個數(shù)位上的數(shù)字均不重復(fù),只有這一類。我們可以先計算總的情況數(shù),減去對立事件包含的情況數(shù)。

總的情況數(shù):百位、十位、個位均有9種可能,分步相乘,共9×9×9=729種。

對立事件包含的情況數(shù):一共有3個數(shù)位,9個數(shù)字可以選擇,每個數(shù)位上的數(shù)字各不相同,故有

729-504=225種,故本題選D。

練習(xí)提升

例1

某交警大隊的16名民警中,男性為10人?,F(xiàn)要選4人進行夜間巡邏工作,要求男性民警不得少于2人,問:有多少種選人方法?

A.1605 B.1520 C.1071 D.930

【紅師解析】A。男性民警為10人,則女性民警有6人。有不少于字眼,考慮對立面,男性民警少于2人,即沒有男性民警或只有1名男性民警,則本題所求為

故本題選A。

例2

三行三列間距相等共有九盞燈,任意亮起其中的三盞組成一個三角形,持續(xù)5秒鐘后換另一個三角形。那么如此持續(xù)亮,亮完所有的三角形組合至少需要多少秒?

A.380 B.390 C.410 D.420

【紅師解析】A。要求亮完所有的三角形組合的時間,則需要先求出所有三角形組合的數(shù)量。若直接討論三角形種類,情況較多,使用間接法,一共9個點,任取其中三個點,

考慮到在一條直線上的三個點不能構(gòu)成三角形,需要減去8,即三條橫線,三條豎線,兩條對角線。故共有84-8=76個不同的三角形,亮完至少需要76×5=380秒。

小結(jié)

間接法可以減少計算量,那我們什么時候可以應(yīng)用這個方法呢?紅師教育也幫大家總結(jié)了一些特征:①題目分類較多時;②題干中出現(xiàn)至多、至少等字眼時。

希望大家以后遇見此類題目,不要輕易放棄,嘗試去做一做,也歡迎大家來紅師課堂,學(xué)習(xí)更多解題方法。

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