解放軍文職招聘考試埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間:2017-11-22 18:18:50埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容根據(jù)埃及紙草書的記載,古埃及人對算術(shù)、代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí),并能做簡單地應(yīng)用.現(xiàn)簡要介紹如下:一、算術(shù)古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處,具有簡單而又純樸的風(fēng)格,并且使用了十進(jìn)位制,但是不知道位值制.古埃及人是用象形文字來表示數(shù)的,例如根據(jù)史料記載,上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù).由于是用象形文字表示數(shù),進(jìn)行相加運(yùn)算是很麻煩的,必須要數(shù) 個(gè)位數(shù) 、 十位數(shù) 、 百位數(shù) 的個(gè)數(shù).但在計(jì)算乘法時(shí),埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法,運(yùn)算過程比較簡便.乘法:古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法,然后將對應(yīng)結(jié)果相加.例如蘭德紙草書(希特版)第32頁,記載著12 12的計(jì)算方法,是從右往左讀的.右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示,這就是倍增法(duplatio).由下表可知,計(jì)算的方法是把12依次擴(kuò)大2倍,那么12 12為12的4倍加上12的8倍,恰是12的12倍,并把要加的數(shù)在右側(cè)(現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字在左側(cè))標(biāo)記斜線,算得結(jié)果144.在更早的時(shí)期,埃及人也曾采用 減半法 來計(jì)算乘法.首先是將一乘數(shù)擴(kuò)大10倍,然后再計(jì)算10倍的一半.例如紙草書(卡芬版)第6頁,計(jì)算16 16,是按如下方法計(jì)算的,即減半法(mediatio)./1 16/10 160/5 80合計(jì) 256這種乘法的計(jì)算方法是古代人計(jì)算技能的基礎(chǔ),是非常古老的方法.希臘時(shí)期的學(xué)校曾講授過埃及人的計(jì)算方法,到了中世紀(jì),還講授 倍增法 和 減半法 .除法:埃及人很早就認(rèn)識(shí)到除法是乘法的逆運(yùn)算,并蘊(yùn)含在實(shí)際計(jì)算之中.例如,計(jì)算1120 80(見蘭德紙草書第69頁).1 80/10 8002 160/4 320合計(jì) 1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80,恰好是1120,即1120中含有14個(gè)80.分?jǐn)?shù):古埃及人對分?jǐn)?shù)的記法和計(jì)算都比現(xiàn)在復(fù)雜得多.例如,他分叫做 第三部分 .例如,這樣,通過二個(gè)部分與第三部分;三個(gè)部分與第四部分的結(jié)合來表示出一個(gè)整體.現(xiàn)在的西歐,有時(shí)也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語言來表達(dá)三分之一、四分之一這類分?jǐn)?shù)的含義.按此規(guī)律理解,五分之一可認(rèn)為與四個(gè)部分結(jié)合成一個(gè)整體的第五部分.從語言的角度,五分之二(twofifths)就無法表達(dá)了.隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴(kuò)大,計(jì)算方法的不斷改進(jìn),埃及人用 單位分?jǐn)?shù) (分子是1的分?jǐn)?shù))來表示分?jǐn)?shù):對一般分?jǐn)?shù)則拆成 單位分?jǐn)?shù) 表示①.例如,(用現(xiàn)代符號表示)
解放軍文職招聘考試劉徽的數(shù)學(xué)成就-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間:2017-11-22 19:20:28劉徽的數(shù)學(xué)成就一、劉徽生平劉徽是中國古代最偉大的數(shù)學(xué)家之一.他是三國時(shí)代魏國人,籍貫山東,生卒年不詳,約死于西晉初年.劉徽出身平民,終生未仕,被稱為 布衣 數(shù)學(xué)家.劉徽在童年時(shí)代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),是以《九章算術(shù)》為主要讀本的,成年后又對該書深入研究,于公元263年左右寫成《九章算術(shù)注》,劉徽自序說: 徽幼習(xí)《九章》,長再詳覽.觀陰陽之割裂,總算術(shù)之根源.探賾之暇,遂悟其意,是以敢竭頑魯,采其所見,為之作注. 劉徽在研究《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上,對書中的重要結(jié)論一一證明,對其錯(cuò)誤予以糾正,方法予以改進(jìn),并提出一些卓越的新理論、新思想.《九章算術(shù)注》是劉徽留給后世的十分珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn),是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論研究的奠基之作.劉徽還著有《重差》一卷,專講測量問題.他本來把《重差》作為《九章算術(shù)注》的第十卷,唐代初年改為單行本,并將書名改作《海島算經(jīng)》,流傳至今.從劉徽著作來看,他學(xué)風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn),實(shí)事求是,而且富于批判精神,敢于創(chuàng)新,理論研究相當(dāng)深入,堪稱數(shù)學(xué)史上的一代楷模.二、《九章算術(shù)注》此為劉徽的力作,反映了他在算術(shù)、代數(shù)、幾何等方面的杰出貢獻(xiàn).1.算術(shù)(1)十進(jìn)分?jǐn)?shù)劉徽之前,計(jì)算中遇到奇零小數(shù)時(shí),就用帶分?jǐn)?shù)表示,或者四舍五入.劉徽首創(chuàng)十進(jìn)分?jǐn)?shù),用以表示無理根的近似值.這種記數(shù)法與現(xiàn)代劉徽用忽來表示,但a后各位就不必再命名了,劉徽稱它們?yōu)?微數(shù) ,說: 微數(shù)無名者以為分子,其一退以十為母,其再退以百為母.退之彌下,其分彌細(xì). 這種方法,與我們現(xiàn)在開平方求無理根的十進(jìn)小數(shù)近似值的方法一致,即其中a1,a2, ,an是0至9之間的一位整數(shù).(2)齊同術(shù)《九章算術(shù)》中雖有分?jǐn)?shù)通分的方法,但沒有形成完整理論,劉徽提出齊同術(shù),使這一理論趨于完善.他說: 凡母互乘子謂之齊,群母相乘謂之同. 又進(jìn)一步提出通分后數(shù)值不變的理論依據(jù),即 一乘一除,適足相消,故所分猶存 法實(shí)俱長,意亦等也 .前句話的意思是,一個(gè)分?jǐn)?shù)用同一個(gè)(非零)數(shù)一乘一除,其值不變;后句話的意思是,分?jǐn)?shù)的分子、分母擴(kuò)大同一倍數(shù),分?jǐn)?shù)值不變.劉徽指出, 同 即一組分?jǐn)?shù)的公分母, 齊 是由 同 而來的,是為了使每個(gè)分?jǐn)?shù)值不變.另外,劉徽還將齊同術(shù)引而伸之,用來解釋方程及盈不足問題.2.代數(shù)(1)對正負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)《九章算術(shù)》成書后,正負(fù)數(shù)的運(yùn)算越來越廣泛,但究竟應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)正負(fù)數(shù),卻很少有人論及.劉徽在《九章算術(shù)注》中首次給出正負(fù)數(shù)的明確定義: 今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之. 就是說以正負(fù)數(shù)表示得失相反的量.他還進(jìn)一步闡述正負(fù)的意義: 言負(fù)者未必負(fù)于少,言正者未必正于多. 即負(fù)數(shù)絕對值未必少,正數(shù)絕對值未必大.另外,他又提出籌算中表示正負(fù)數(shù)的兩種方法:一種是用紅籌表正數(shù),黑籌表負(fù)數(shù);再一種是以算籌擺法的正、斜來區(qū)別正、負(fù)數(shù).這兩種方法,對后世數(shù)學(xué)都有深遠(yuǎn)影響.(2)對線性方程組解法的改進(jìn)《九章算術(shù)》中用直除法解線性方程組,比較麻煩.劉徽在方程章的注釋中,對直除法加以改進(jìn),創(chuàng)立了互乘相消法.例如方程組劉徽是這樣解的:(1) 2,(2) 5,得(4)-(3),得21y=20(下略).顯然,這種方法與現(xiàn)代加減消元法一致,不過那時(shí)用的是籌算.劉徽認(rèn)為,這種方法可以推廣到多元, 以小推大,雖四、五行不異也. 他還進(jìn)一步指出, 相消 時(shí)要看兩方程首項(xiàng)系數(shù)的同異,同則相減,異則相加.劉徽的工作,大大減化了線性方程組解法.(3)方程理論的初步總結(jié)劉徽在深入研究《九章算術(shù)》方程章的基礎(chǔ)上,提出了比較系統(tǒng)的方程理論.劉徽所謂 程 是程式或關(guān)系式的意思,相當(dāng)于現(xiàn)在的方程,而 方程 則相當(dāng)于現(xiàn)在的方程組.他說: 二物者再程,三物者三程,皆如物數(shù)程之.并列為行,故謂之方程. 這就是說: 有兩個(gè)所求之物,需列兩個(gè)程;有三個(gè)所求之物,需列三個(gè)程.程的個(gè)數(shù)必須與所求物的個(gè)數(shù)一致.諸程并列,恰成一方形,所以叫方程. 這里的 物 ,實(shí)質(zhì)上是未知數(shù),只是當(dāng)時(shí)尚未抽象出未知數(shù)的明確概念.定義中的 皆如物數(shù)程之 是十分重要的,它與劉徽提出的另一原則 行之左右無所同存 ,共同構(gòu)成了方程組有唯一組解的條件.若譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言,這兩條即:方程個(gè)數(shù)必須與未知數(shù)個(gè)數(shù)一致,任意兩個(gè)方程的系數(shù)不能相同或成比例.劉徽還認(rèn)識(shí)到,當(dāng)方程組中方程的個(gè)數(shù)少于所求物個(gè)數(shù)時(shí),方程組的解不唯一;如果是齊次方程組,則方程組的解可以成比例地?cái)U(kuò)大或縮小,即 舉率以言之 .對于方程組的性質(zhì),劉徽總結(jié)出如下諸條: 令每行為率 ,即方程各項(xiàng)成比例地?cái)U(kuò)大或縮小,不改變方程組的解; 每一行中,雖復(fù)赤黑異算,無傷 ,即方程各項(xiàng)同時(shí)變號,不改變方程組的解; 舉率以相減,不害余數(shù)之課也,即兩方程對應(yīng)項(xiàng)相減,不改變方程組的解.很明顯,劉徽對于線性方程組的初等變換,已經(jīng)基本掌握了.不過,他沒有考慮交換兩個(gè)方程的位置,因?yàn)椴贿M(jìn)行這種變換亦可順利求出方程組的解,而且調(diào)換算籌的位置是不方便的.3.幾何(1)割圓術(shù)劉徽以前,一般采用周三徑一的圓周率,這是很不精確的.劉徽在《九章算術(shù)注》中指出:周三徑一的數(shù)據(jù)實(shí)際是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值,不是圓周與直徑的比值.他認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多,其面積就越接近圓面積.他從這一思想出發(fā),創(chuàng)立了科學(xué)的求圓周率方法---割圓術(shù).具體來說,就是以1尺為半徑作圓,再作圓內(nèi)接正六邊形,然后逐漸倍增邊數(shù),依次算出內(nèi)接正六邊形、正12邊形乃至正192邊形的面積.劉徽之所以選半徑為1,是為了使圓面積在數(shù)值上等于圓周率,從而簡化運(yùn)算.他利用公式(ln為內(nèi)接正n邊形邊長,S2n為內(nèi)接正2n邊形面積)來求各正多邊形面積.至于正多邊形邊長,他是反復(fù)利用勾股定理來求的.例如,由以下三式即可求得正12邊形邊長(圖4.14):TR=OR-OT,后,便根據(jù)S192<S<S192+(S192-S96)劉徽舍棄分?jǐn)?shù)部分,取圓面積為314平方寸,從而得到 =3.14、 這種方法可以求得任意精度的圓周率近似值,劉徽對這一點(diǎn)是很清楚的.不過,他根據(jù)當(dāng)時(shí)的需要,運(yùn)算中只取到兩位小數(shù).割圓術(shù)的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上的一件大事.古希臘的阿基米德(Archimedes,公元前287---前212)也曾用割圓術(shù)求圓周率,他的方法是以圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時(shí)逼近圓,比劉徽的方法麻煩一些.劉徽的成就晚于阿基米德,但是獨(dú)立取得的.(2)幾何定理的證明劉徽采用出入相補(bǔ)原理,證明了《九章算術(shù)》中許多幾何公式和定理.例如,他在證明三角形面積公式時(shí),思路如下:把三角形的高h(yuǎn)二自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類,因就其余不移動(dòng)也,合成弦方之冪. 可惜的是原圖失傳,所以不知?jiǎng)⒒赵鯓?出入相補(bǔ) .劉徽在研究立體幾何時(shí),發(fā)現(xiàn) 邪解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑,陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也 .即 過對角面分割塹堵為一個(gè)陽馬(圖4 16中ABCDE)和一個(gè)鱉臑(圖4 16中DEFC),則陽馬與鱉臑的體積之比恒為二比一. 為敘述方便,我們稱之為陽馬定理.劉徽從長方體體積公式出發(fā)證明了這一定理,然后用它證明了各種多面體的體積公式.另外,他還發(fā)現(xiàn)了一條重要原理:對兩個(gè)等高的立體,若用平行于底面的平面截得的面積之比為一常數(shù),則這兩立體的體積之比也等于該常數(shù).這一原理可稱為 劉徽原理 .在《九章算術(shù)注》中,劉徽多次運(yùn)用了這一原理,例如,圓臺(tái)體積∶外切正四梭臺(tái)體積=圓面積∶外切正方形面積= ∶4.書中對圓錐、圓臺(tái)等旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導(dǎo),都是以劉徽原理為依據(jù)的.(3)對球體積的研究劉徽發(fā)現(xiàn)了《九章算術(shù)》中球體積公式不正確,試圖利用劉徽原理求出正確的球體積公式.他首先作球的外切立方體,然后用兩個(gè)直徑等于球徑的圓柱從立方體內(nèi)切貫穿(圖4.17).于是,球便被包在兩圓柱相交的公共部分,而且與圓柱相切.劉徽只保留兩圓柱的公共部分,取名 牟合方蓋 .(圖4.18)根據(jù)劉徽原理,球體積與牟合方蓋體 體積,整個(gè)問題就迎刃而解了.劉徽沒有成功,只好 以俟能言者 .但他的思路正確,為后人解決這一問題打下了基礎(chǔ).4.劉徽的極限觀念從《九章算術(shù)注》可以看到,劉徽具有明確的極限思想.他把極限用于代數(shù)和幾何研究,取得重要成果.這說明極限思想從春秋戰(zhàn)國時(shí)期萌芽以后,到這時(shí)已有較大發(fā)展.例如,劉徽的割圓術(shù)便建立在極限理論的基礎(chǔ)上.他說: 割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣. 就是說當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),正多邊形面積的極限便是圓的面積.他還把割圓術(shù)用于求弓形面積.如圖4.19,劉徽在弓形內(nèi)為弓形面積.顯然,用此方法可使弓形面積達(dá)到任何需要的精確度.劉徽在研究開方不盡的問題時(shí),認(rèn)為求出的位數(shù)越多,就越接近真值,但永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到真值,只能根據(jù)需耍,求到 雖有所棄之?dāng)?shù),不足言之也 的程度.劉徽正是在這種極限觀念的基礎(chǔ)上創(chuàng)立十進(jìn)分?jǐn)?shù)的.他在征明有關(guān)體積的定理(如陽馬定理)時(shí)也用到極限,并深刻地指出,極限問題 謂以情推,不用籌算 ,就是說研究極限靠思維和推理而不靠具體計(jì)算.